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<!DOCTYPE html>

<title>Burnside-Problem</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Burnside-Problem</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Das 1902 von <a href="William_Burnside" title="William Burnside">William Burnside</a> aufgestellte Burnside-Problem ist eines der ältesten und einflussreichsten Probleme der <a href="Gruppentheorie" title="Gruppentheorie">Gruppentheorie</a> und fragt, ob jede <a href="Endlich_erzeugte_Gruppe" title="Endlich erzeugte Gruppe">endlich erzeugte Gruppe</a>, in der jedes Element <a href="Ordnung_eines_Gruppenelementes" title="Ordnung eines Gruppenelementes">endliche Ordnung</a> hat, notwendigerweise <a href="Endliche_Gruppe" title="Endliche Gruppe">endlich</a> sein muss. <a href="Jewgeni_Solomonowitsch_Golod" title="Jewgeni Solomonowitsch Golod">Jewgeni Golod</a> und <a href="Igor_Rostislawowitsch_Schafarewitsch" title="Igor Rostislawowitsch Schafarewitsch">Igor Schafarewitsch</a> fanden 1964 ein Gegenbeispiel. Das Problem hat mehrere Varianten, etwa das <a href="#Das_beschränkte_Burnside-Problem">beschränkte Burnside-Problem</a> oder das <a href="#Das_eingeschränkte_Burnside-Problem">eingeschränkte Burnside-Problem</a>, die sich darin unterscheiden, dass die Elementordnungen weiteren Bedingungen unterworfen sind.<a href="#cite_note-1">[1]</a><a href="#cite_note-2">[2]</a><a href="#cite_note-3">[3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Historische_Bemerkungen">Historische Bemerkungen</h2></div>

Zu Anfang wies alles auf eine positive Antwort hin. Ist zum Beispiel die Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> endlich erzeugt und ist jede Elementordnung ein Teiler von 4, dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> bereits endlich. <a href="Alexei_Iwanowitsch_Kostrikin" title="Alexei Iwanowitsch Kostrikin">A. I. Kostrikin</a> konnte 1958 zeigen, dass sich unter den endlichen Gruppen mit vorgegebener Anzahl von <a href="Erzeugendensystem" title="Erzeugendensystem">Erzeugern</a> und mit vorgegebener <a href="Primzahl" title="Primzahl">Primzahl</a> als <a href="Gruppenexponent" title="Gruppenexponent">Gruppenexponent</a> eine größte findet. Das ergibt eine Lösung des <a href="#Das_eingeschränkte_Burnside-Problem">eingeschränkten Burnside-Problems</a> für den Fall eines Primexponenten. Später, im Jahre 1989, konnte <a href="Efim_Zelmanov" title="Efim Zelmanov">Efim Zelmanov</a> das eingeschränkte Burnside-Problem für beliebige Exponenten lösen. 1911 zeigte <a href="Issai_Schur" title="Issai Schur">Issai Schur</a>, dass jede endlich erzeugte <a href="Torsionsgruppe" class="mw-redirect" title="Torsionsgruppe">Torsionsgruppe</a>, die in den komplexen, invertierbaren <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">n × n-Matrizen</a> enthalten ist, endlich sein muss. Dies benutzte er zum Beweis des <a href="Satz_von_Jordan-Schur" title="Satz von Jordan-Schur">Satzes von Jordan-Schur</a>.<a href="#cite_note-4">[4]</a>

Nichtsdestoweniger stellte sich heraus, dass das Burnside-Problem eine negative Antwort hat. 1964 fanden Golod und Schafarewitsch eine unendliche Gruppe vom Burnside-Typ (d. h. endlich erzeugt und alle Elemente haben eine endliche Ordnung), ohne dass die Elementordnungen gleichmäßig beschränkt sind. 1968 lieferten <a href="Pjotr_Sergejewitsch_Nowikow" title="Pjotr Sergejewitsch Nowikow">Pjotr Nowikow</a> und <a href="Sergei_Iwanowitsch_Adjan" title="Sergei Iwanowitsch Adjan">Sergei Adjan</a> eine negative Lösung für das Problem mit beschränktem Exponenten für alle ungeraden Exponenten größer als 4381. Im Jahre 1982 fand <a href="Alexander_Jurjewitsch_Olschanski" title="Alexander Jurjewitsch Olschanski">Alexander Olschanski</a> einige verblüffende Gegenbeispiele für hinreichend große ungerade Exponenten (größer als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 10^{10}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 10^{10}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b086010e3cc3b0a4e22c858243d32ec1cc648e6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.201ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 10^{10}}" loading="lazy">) und lieferte auf Basis geometrischer Ideen einen beträchtlich einfacheren Beweis.

Der Fall gerader Exponenten hat sich als sehr viel schwieriger herausgestellt. S. W. Iwanow kündigte 1992 eine negative Lösung für hinreichend große gerade Exponenten, die durch eine große <a href="Zweierpotenz" class="mw-redirect" title="Zweierpotenz">Zweierpotenz</a> teilbar sind, an. Die vollständigen Beweise wurden 1994 veröffentlicht und umfassten gut 300 Seiten.<a href="#cite_note-5">[5]</a> Spätere gemeinsame Arbeit mit Olschanski führte zu einer negativen Lösung des Analogons des Burnside-Problems für <a href="Hyperbolische_Gruppe" title="Hyperbolische Gruppe">hyperbolische Gruppen</a>, wieder für hinreichend große Exponenten.<a href="#cite_note-ivol-6">[6]</a> Im Gegensatz dazu ist für kleine Exponenten ungleich 2, 3, 4 oder 6 fast nichts bekannt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Das_allgemeine_Burnside-Problem">Das allgemeine Burnside-Problem</h2></div>

Eine Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> heißt <a href="Torsionsgruppe" class="mw-redirect" title="Torsionsgruppe">Torsionsgruppe</a>, wenn jedes Element eine endliche Ordnung hat, das heißt, wenn es zu jedem Element <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\in G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\in G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.783ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\in G}" loading="lazy"> eine positive ganze Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> gibt, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g^{n}=1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g^{n}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/513178f309e0b90e3d3c501904e72b2d85950503.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.598ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle g^{n}=1}" loading="lazy">. Offenbar ist jede endliche Gruppe eine Torsionsgruppe. Es gibt aber leicht zu definierende, unendliche Torsionsgruppen wie etwa die <a href="Pr%C3%BCfergruppe" title="Prüfergruppe">Prüfergruppen</a>, aber Letztere sind nicht endlich erzeugt.

<dl><dd><dl><dd>Allgemeines Burnside-Problem: Ist eine endlich erzeugte Torsionsgruppe notwendigerweise endlich?</dd></dl></dd></dl>

Die Antwort auf diese Frage fiel negativ aus, 1964 fanden <a href="Jewgeni_Solomonowitsch_Golod" title="Jewgeni Solomonowitsch Golod">Jewgeni Golod</a> und <a href="Igor_Rostislawowitsch_Schafarewitsch" title="Igor Rostislawowitsch Schafarewitsch">Igor Schafarewitsch</a> ein Beispiel einer unendlichen, endlich erzeugten <a href="P-Gruppe" title="P-Gruppe">p-Gruppe</a>. Die Elementordnungen dieser Gruppe waren aber nicht durch eine gemeinsame Konstante beschränkt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Das_beschränkte_Burnside-Problem">Das beschränkte Burnside-Problem</h2></div>

Ein Teil der Schwierigkeiten beim allgemeinen Burnside-Problem rührt daher, dass die Forderungen der endlichen Erzeugung und der Torsionsgruppe nur wenig Informationen über die mögliche Gruppenstruktur zulassen. Daher benötigen wir weitergehende Forderungen an <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy">. Wir betrachten daher Torsionsgruppen mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass es eine kleinste Zahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27a6a5d982d54202a14f111cb8a49210501b2c96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>0}" loading="lazy"> gibt, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g^{n}=1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g^{n}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/513178f309e0b90e3d3c501904e72b2d85950503.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.598ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle g^{n}=1}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g\in G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g\in G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1be73903416a0dd94b8cbc2268ce480810c0e62.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.783ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g\in G}" loading="lazy">. Solche Gruppen heißen Torsionsgruppen mit beschränktem Exponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> oder einfach Gruppen mit Exponent <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">. Das beschränkte Burnside-Problem stellt die Frage

<dl><dd><dl><dd>Beschränktes Burnside-Problem: Ist eine endlich erzeugte Torsionsgruppe mit Exponent <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> notwendigerweise endlich?</dd></dl></dd></dl>

Das Problem kann in eine Frage über die Endlichkeit einer bestimmten Familie von Gruppen umformuliert werden. Die freie Burnside-Gruppe vom Rang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> und Exponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">, die mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(m,n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(m,n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f1a73c7fa714079c1d7d34ac057cc268407d334.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.042ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(m,n)}" loading="lazy"> bezeichnet wird, ist eine Gruppe mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> <a href="Pr%C3%A4sentation_einer_Gruppe" title="Präsentation einer Gruppe">Erzeugern</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c855767c8ecc26a978082506f45aa3fb61b45594.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.567ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}" loading="lazy">, in der alle Elemente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> die <a href="Pr%C3%A4sentation_einer_Gruppe" title="Präsentation einer Gruppe">Relation</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{n}=1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{n}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8741a3eae6f729b4f1c4273a74c135d23987d5fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.809ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{n}=1}" loading="lazy"> erfüllen, und die in gewisser Weise die größte Gruppe mit diesen Eigenschaften ist. Genauer wird <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(m,n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(m,n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f1a73c7fa714079c1d7d34ac057cc268407d334.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.042ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(m,n)}" loading="lazy"> dadurch charakterisiert, dass es zu jeder anderen Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> mit Erzeugern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b2b28ab9704998fdd40795adaa7ea5014145768.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.126ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{m}}" loading="lazy"> und mit Exponent <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> genau einen <a href="Gruppenhomomorphismus" title="Gruppenhomomorphismus">Gruppenhomomorphismus</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(m,n)\rightarrow G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(m,n)\rightarrow G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e145cb63ef887e76de7cc20009bfcb66f44437f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.483ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(m,n)\rightarrow G}" loading="lazy"> gibt, der den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy">-ten Erzeuger <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e87000dd6142b81d041896a30fe58f0c3acb2158.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.129ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{i}}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(m,n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(m,n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f1a73c7fa714079c1d7d34ac057cc268407d334.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.042ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(m,n)}" loading="lazy"> auf den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy">-ten Erzeuger <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g_{i}\in G}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g_{i}\in G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be70e5659edf9525fa0913badcdc6d570b5e3d5e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.576ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle g_{i}\in G}" loading="lazy"> abbildet. In der Sprache der <a href="Pr%C3%A4sentation_einer_Gruppe" title="Präsentation einer Gruppe">Präsentation einer Gruppe</a> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(m,n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(m,n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f1a73c7fa714079c1d7d34ac057cc268407d334.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.042ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(m,n)}" loading="lazy"> die Gruppe mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> Erzeugern <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c855767c8ecc26a978082506f45aa3fb61b45594.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.567ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}" loading="lazy"> und Relationen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{n}=1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{n}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8741a3eae6f729b4f1c4273a74c135d23987d5fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.809ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x^{n}=1}" loading="lazy"> für jedes <a href="Wort_(theoretische_Informatik)" title="Wort (theoretische Informatik)">Wort</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c855767c8ecc26a978082506f45aa3fb61b45594.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.567ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}" loading="lazy">, jede weitere Gruppe mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> Erzeugern und Exponent <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> erhält man durch Forderung zusätzlicher Relationen. Die Existenz der freien Burnside-Gruppen und ihre Eindeutigkeit ergeben sich mittels Standardtechniken der Gruppentheorie. Wenn also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"> eine von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> Elementen erzeugte Gruppe mit Exponent <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> ist, so gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(m,n)\rightarrow G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(m,n)\rightarrow G}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e145cb63ef887e76de7cc20009bfcb66f44437f1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.483ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(m,n)\rightarrow G}" loading="lazy">. Das beschränkte Burnside-Problem kann also wie folgt umformuliert werden:

<dl><dd><dl><dd>Beschränktes Burnside-Problem II: Für welche positiven Zahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> ist die freie Burnside-Gruppe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(m,n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(m,n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f1a73c7fa714079c1d7d34ac057cc268407d334.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.042ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(m,n)}" loading="lazy"> endlich?</dd></dl></dd></dl>

Die vollständige Lösung des Burnside-Problems in dieser Form ist unbekannt. Burnside hatte in seiner Originalarbeit einige einfache Fälle betrachtet:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(1,n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ea9e177b8ff227e7491587a91b14951aff262b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.164ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(1,n)}" loading="lazy"> ist die <a href="Zyklische_Gruppe" title="Zyklische Gruppe">zyklische Gruppe</a> der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(m,2)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/042e6f878de354ea19dbac627ddb25ee60268665.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.81ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(m,2)}" loading="lazy"> ist das <a href="Direktes_Produkt" title="Direktes Produkt">direkte Produkt</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> Kopien der Ordnung 2. (Der wesentliche Punkt ist die Beobachtung, dass die Relationen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bfc48f9130aa4a0877fed8542cdf0369df6f01ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.885ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=1}" loading="lazy"> die Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ab=ba}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ab=ba}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/794f6c310259e816eed4a00262d91bf4f53e37c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.553ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle ab=ba}" loading="lazy"> implizieren, so dass freie Burnside-Gruppen mit Exponent 2 <a href="Abelsche_Gruppe" title="Abelsche Gruppe">abelsch</a> sind.)</li></ul>

Die folgenden Resultate sind noch bekannt (Burnside, I. N. Sanow, <a href="Marshall_Hall_(Mathematiker)" title="Marshall Hall (Mathematiker)">M. Hall</a>):<a href="#cite_note-7">[7]</a>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(m,3)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab3f0d8ccbf09da47601b40916d5613d5f8ae02f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.81ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(m,3)}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(m,4)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(m,4)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/52e5cfd0e6adc1e7b6cad73a5ee8b8f1a9b07830.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.81ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(m,4)}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(m,6)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(m,6)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5bcaefeecfd411dff73890b34da670a17a4f6abc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.81ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(m,6)}" loading="lazy"> sind endlich für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy">.</li></ul>

Der Spezialfall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(2,5)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(2,5)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7e662bd0d2be22dba991e5fc7a1f00341dd1e4b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.932ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(2,5)}" loading="lazy"> ist Stand 2005 offen, es ist nicht bekannt, ob diese Gruppe endlich ist.

<a href="Pjotr_Sergejewitsch_Nowikow" title="Pjotr Sergejewitsch Nowikow">Pjotr Nowikow</a> und <a href="Sergei_Iwanowitsch_Adjan" title="Sergei Iwanowitsch Adjan">Sergei Adjan</a> erreichten 1968 einen Durchbruch in der Lösung des Burnside-Problems. Mittels eines komplizierten kombinatorischen Arguments zeigten sie, dass es für jede <a href="Parit%C3%A4t_(Mathematik)" title="Parität (Mathematik)">ungerade Zahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n>4381}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n>4381}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0677126eddf4f2e49852c6f52acc785fdb877269.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.143ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n>4381}" loading="lazy"> unendliche, endlich erzeugte Gruppen mit Exponent <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> gibt. Adjan hat dies später auf ungerade Exponenten größer 665 verbessert. (John Britton schlug 1973 einen alternativen, zirka 300 Seiten langen Beweis vor, in dem Adjan allerdings einen Fehler fand.) Der Fall gerader Exponenten erwies sich als erheblich schwieriger. Erst 1994 konnte S. W. Iwanow ein Analogon zum Satz von Nowikow-Adjan beweisen: Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m>1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m>1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f27527902d05e4c32bcbe28d425d7790f8ae191.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.301ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m>1}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geq 2^{48}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geq 2^{48}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/754c1bcb3af8cbdc93e8db1e0f3868393a5988e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.532ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n\geq 2^{48}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> teilbar durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{9}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{9}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e5dd43184d91072ccc65e3ffcfb8428a1e3105a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.217ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle 2^{9}}" loading="lazy"> ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(m,n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(m,n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f1a73c7fa714079c1d7d34ac057cc268407d334.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.042ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(m,n)}" loading="lazy"> unendlich. Zusammen mit dem Satz von Nowikow-Adjan kann man schließen, dass es unendliche Burnside-Gruppen für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m>1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m>1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f27527902d05e4c32bcbe28d425d7790f8ae191.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.301ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle m>1}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geq 2^{48}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geq 2^{48}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/754c1bcb3af8cbdc93e8db1e0f3868393a5988e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.532ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle n\geq 2^{48}}" loading="lazy"> gibt.<a href="#cite_note-8">[8]</a> Das wurde 1996 von Igor Gerontjewitsch Lyssjonok (Lysënok) auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n\geq 8000}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n\geq 8000}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc70c2659e31361a97fed6a132bebcedf88a5279.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.143ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n\geq 8000}" loading="lazy"> verbessert.<a href="#cite_note-9">[9]</a> Nowikow-Adjan, Iwanow und Lysënok erzielten erheblich präzisere Ergebnisse über die Struktur freier Burnside-Gruppen. Im Falle ungerader Exponenten sind alle endlichen Untergruppen der freien Burnside-Gruppe zyklisch. Für gerade Exponenten ist jede endliche Untergruppe in einem <a href="Kartesisches_Produkt" title="Kartesisches Produkt">Produkt</a> zweier <a href="Diedergruppe" title="Diedergruppe">Diedergruppen</a> enthalten und es gibt nicht-zyklische endliche Untergruppen. Überdies sind das <a href="Pr%C3%A4sentation_einer_Gruppe#Das_Wortproblem" title="Präsentation einer Gruppe">Wort-</a> und das <a href="Pr%C3%A4sentation_einer_Gruppe#Das_Konjugationsproblem" title="Präsentation einer Gruppe">Konjugationsproblem</a> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(m,n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(m,n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f1a73c7fa714079c1d7d34ac057cc268407d334.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.042ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(m,n)}" loading="lazy"> sowohl für gerade als auch für ungerade Exponenten effektiv lösbar.

Eine berühmte Klasse von Gegenbeispielen zum Burnside-Problem sind endlich erzeugte, nicht-zyklische, unendliche Gruppen, in denen jede echte Untergruppe eine endliche zyklische Gruppe ist, dies sind die sogenannten <a href="Tarski-Gruppe" title="Tarski-Gruppe">Tarski-Gruppen</a>. Erste Beispiele solcher Gruppen wurden 1979 von <a href="Alexander_Jurjewitsch_Olschanski" title="Alexander Jurjewitsch Olschanski">A. J. Olschanski</a> mittels geometrischer Methoden konstruiert. Er konnte dies 1982 weiter verschärfen und für jede hinreichend große Primzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p>10^{75}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p>10^{75}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d2a6e63800ce7cbe1c6db4f19264b1592972748.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:8.558ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle p>10^{75}}" loading="lazy"> die Existenz endlich erzeugter, unendlicher Gruppen zeigen, in denen jede nicht-triviale Untergruppe zyklisch von der Ordnung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> ist. In einer 1996 veröffentlichten Arbeit konnten Iwanow und Olschanski das Analogon zum Burnside-Problem für beliebige <a href="Hyperbolische_Gruppe" title="Hyperbolische Gruppe">hyperbolische Gruppen</a> mit hinreichend großen Exponenten lösen.<a href="#cite_note-ivol-6">[6]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Das_eingeschränkte_Burnside-Problem">Das eingeschränkte Burnside-Problem</h2></div>

Die aus den 1930ern stammende Frage lautet:

<dl><dd><dl><dd>Eingeschränktes Burnside-Problem: Wenn von einer Gruppe bekannt ist, dass sie von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> Elementen erzeugt wird, den Exponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> hat und dass sie endlich ist, kann man dann die Gruppenordnung gegen eine nur von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> abhängige Konstante abschätzen? Das ist äquivalent zu der Frage: Gibt es bis auf Isomorphie nur endlich viele endliche Gruppen mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> Erzeugern und Exponent <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">?</dd></dl></dd></dl>

Diese Variante des Burnside-Problems kann in eine Aussage über gewisse universelle Gruppen mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> Erzeugern und Exponent <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> umformuliert werden. Es ist eine grundlegende Aussage der Gruppentheorie, dass der Durchschnitt zweier Untergruppen mit endlichem <a href="Index_(Gruppentheorie)" title="Index (Gruppentheorie)">Index</a> wieder endlichen Index hat.<a href="#cite_note-10">[10]</a> Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> der Durchschnitt aller Untergruppen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(m,n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(m,n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7f1a73c7fa714079c1d7d34ac057cc268407d334.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.042ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(m,n)}" loading="lazy"> mit endlichem Index. Dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> ein <a href="Normalteiler" title="Normalteiler">Normalteiler</a> (denn alle <a href="Konjugation_(Gruppentheorie)" title="Konjugation (Gruppentheorie)">Konjugierten</a> von Untergruppen mit endlichem Index sind wieder von dieser Form) und man kann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{0}(m,n)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{0}(m,n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e697a6a2ae08867e8639c2216b88fc0eeae1cb76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.097ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B_{0}(m,n)}" loading="lazy"> als die <a href="Quotientengruppe" class="mw-redirect" title="Quotientengruppe">Quotientengruppe</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B(m,n)/M}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B(m,n)/M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/12f99f3f25b3af433c21a7ee53d9b6c3dc18244b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.647ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B(m,n)/M}" loading="lazy"> definieren. Jede endliche Gruppe mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle m}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle m}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.04ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle m}" loading="lazy"> Erzeugern und Exponent <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"> ist ein <a href="Gruppenhomomorphismus" title="Gruppenhomomorphismus">homomorphes</a> <a href="Bildmenge" class="mw-redirect" title="Bildmenge">Bild</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{0}(m,n)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{0}(m,n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e697a6a2ae08867e8639c2216b88fc0eeae1cb76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.097ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B_{0}(m,n)}" loading="lazy">. Das eingeschränkte Burnside-Problem fragt, ob <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{0}(m,n)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{0}(m,n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e697a6a2ae08867e8639c2216b88fc0eeae1cb76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.097ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B_{0}(m,n)}" loading="lazy"> endlich ist.

Noch vor der negativen Antwort zum allgemeinen Burnside-Problem wurde der Fall eines Primzahl-Exponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> in den 1950ern intensiv von <a href="Alexei_Iwanowitsch_Kostrikin" title="Alexei Iwanowitsch Kostrikin">A. I. Kostrikin</a> studiert. Seine Lösung, das heißt die Endlichkeit von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B_{0}(m,p)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B_{0}(m,p)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad478a52e89438e1c0a1fb1641bce52ce8e2d0c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.871ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle B_{0}(m,p)}" loading="lazy">, verwendete Beziehungen zu tiefliegenden Fragen über Identitäten in <a href="Lie-Algebra" title="Lie-Algebra">Lie-Algebren</a> endlicher <a href="Charakteristik_(Algebra)" title="Charakteristik (Algebra)">Charakteristik</a>. Der Fall allgemeiner Exponenten wurde schließlich positiv von <a href="Efim_Zelmanov" title="Efim Zelmanov">Efim Zelmanov</a> gelöst, wofür dieser 1994 mit der <a href="Fields-Medaille" title="Fields-Medaille">Fields-Medaille</a> ausgezeichnet wurde.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> A. I. Kostrikin: Around Burnside. Übersetzt aus dem Russischen mit einem Vorwort von James Wiegold Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, Band 20, Springer-Verlag 1990, ISBN 3-540-50602-0.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Burnside_problem.html">A History of the Burnside problem</a> im <a href="MacTutor_History_of_Mathematics_archive" title="MacTutor History of Mathematics archive">MacTutor History of Mathematics archive</a>.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a href="Derek_John_Scott_Robinson" title="Derek John Scott Robinson">D. J. S. Robinson</a>: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Kapitel 14.2: Torsion Groups and the Burnside Problems.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <a href="Charles_W._Curtis" title="Charles W. Curtis">Charles W. Curtis</a>, <a href="Irving_Reiner" title="Irving Reiner">Irving Reiner</a>: Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, AMS Chelsea Publishing (1962), ISBN 0-8218-4066-5, Theorem (36,14).

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> S. V. Ivanov: The free Burnside groups of sufficiently large exponents, Internat. J. Algebra Comput. (1994), Band 4, Seiten 1–308.

</li>

<li id="cite_note-ivol-6">↑ <a href="#cite_ref-ivol_6-0">a</a> <a href="#cite_ref-ivol_6-1">b</a> S. V. Ivanov, A. Yu. Ol’shanskii: Hyperbolic groups and their quotients of bounded exponents, Trans. Amer. Math. Soc. (1996), Band 348, Seiten 2091–2138.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> D. J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Sätze 14.2.3, 14.2.4, 14.2.6.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> S. V. Ivanov: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.ams.org/journals/bull/1992-27-02/S0273-0979-1992-00305-1/S0273-0979-1992-00305-1.pdf">On the Burnside Problem on Periodic Groups,</a> Bulletin (New Series) of the Amer. Math. Soc. (1992), Band 27.2, Seiten 257–260 (Übersicht).

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> I. G. Lysënok: Unendliche Burnside-Gruppen mit geradem Exponenten. Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat. (1996) Band 60.3, Seiten 3–224. Englische Übersetzung I. G. Lysënok: Infinite Burnside groups of even exponent, Izv. Math. 60.3, Seiten 453–654.

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> <a href="Derek_John_Scott_Robinson" title="Derek John Scott Robinson">D. J. S. Robinson</a>: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 1.3.12.

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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